Notación de Suma y Productos

De Departamento de Informatica
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La notación Sigma y Pi se usan para simplificar la exposición de grandes sumas y productos sucesivos. Su uso es común en documentos científicos y de investigación donde usualmente se necesita manejar una cantidad muy grande de datos por lo que simplifican mucho la existencia de las personas que buscan comunicar los resultados de sus razonamientos.

Además muchos elementos estructurales de las matemáticas se pueden descomponer en sumandos y factores, luego es de capital importancia conocer cómo comunicar estos hechos, sobre todo si el número de sumandos y productos es arbitrariamente grande y no es práctico enunciarlos uno a uno.

Contenido

Ideas Principales

Cuando pensamos en suma y multiplicación lo primero que se nos viene a la mente es calcular algo (propio de la experiencia en los cursos iniciales de matemáticas) por lo que es conveniente que cambiemos esa noción.

Pensemos en lo que hacemos en el día a día: Usualmente realizamos dos actividades fundamentales que rigen nuestra manera de actuar, estas son

  • Reunir cosas.
  • Seleccionar cosas.

En el razonamiento matemático esto se expresa por las dos operaciones fundamentales de los conjuntos

  • Unión.
  • Intersección.


Ahora, que nos digan que eso es lo que hacemos en nuestro diario vivir puede sonar bastante ajeno. Un ejemplo bastante claro a mi parecer es cuando debo pagarle al micrero: debo seleccionar y reunir las monedas necesarias para el pasaje. Así, sumo los valores de cada una y entrego el monto adecuado.


En el lenguaje de la aritmética (las operaciones que nos enseñan en el colegio) la unión e intersección se traducen a la suma y la multiplicación, respectivamente.Luego cuando veamos una sumatoria la manera más fácil de entenderla es como la reunión de elementos de algún tipo. De esta misma forma un producto será la selección entre elementos de varios tipos.

Notación

Para denotar reuniones se usará la notación sigma


\sum_{i \in A} P(i)

donde:

  • A es un conjunto de elementos.
  • i es un elemento cualquiera del conjunto A.
  • P(i) es un elemento que cumple con la propiedad representada por el elemento i.

ejemplos

  1. Si queremos expresar una suma entre varios elementos enumerados,

digamos:

 a_1, \, a_2, \, \dots \, a_n

podemos hacerlo de la manera tradicional:

 a_1 + a_2 + \dots + a_n

sin embargo es mucho más resumido e igualmente expresivo usar notación Sigma:

 \sum_{1 \le i \le n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n

  1. Ni hablar si es que tenemos un conjunto arbitrariamente grande de elementos,

en ese caso en vez de escribir

 a_1 + a_2 + \dots

que podría ser bastante ambiguo, podemos precisar que esa reunión de elementos es simplemente

 \sum_{i \ge 0} a_i

y nos ahorramos los puntos suspensivos que solo generan inseguridad.

  1. Es importante recordar que en la notación sigma usamos elementos de Conjuntos

para determinar a quienes estamos reuniendo, luego podemos usar cualquier definición por intención como condición. Por ejemplo si queremos reunir todos los números reales podemos expresarlo como

 \sum_{-\infty \le x \le \infty} x

que sería mucho más fácil de entender y de escribir expresado como

 \sum_{x \in \mathbb{R}} x

  1. El uso de predicados facilita más la legibilidad de los símbolos,

por ejemplo considere una familia (que denotaremos por F) cuyos integrantes son Alicia, Pedro (los padres) y sus tres hijos: Álvaro, Benito y Andrea.

Entonces, si queremos referirnos a la reunión de todos los integrantes de la familia que son padres de otros, podemos definir el predicado

padre(x)

que va a ser verdad si es que el integrante x es el papá o la mamá en nuestra familia; luego ambos padres se pueden expresar como

  \sum_{x \in F \wedge padre(x)} x  = \text{Alicia} + \text{Pedro}

Al hablar de productos es fácil asociar los elementos a características que buscamos reunír. Por ejemplo consideremos la cotización de un auto nuevo. Un recién egresado ingeniero quiere comprarse un auto top para lucirse como nuevo jefe de sistemas y quiere saber entre cuantos autos puede elegir que tengan la siguiente lista de características:

  1. característica 1: carrocería negra, roja o azul marino.
  2. característica 2: frenos de disco o balatas traseras.
  3. característica 3: dirección hidráulica o servo-asistida.
  4. característica 4: un supercargador con doble entrada, o en su defecto un turbo-alimentador.

Si contamos todas las posibilidades para cada característica podemos saber cuantos posibles autos podemos elegir de esa lista eligiendo para una característica i las restantes. Reunir cada opción para dicha característica es lo mismo que multiplicar las posibilidades de elegir i por las restantes opciones, es decir

 \prod_{1 \le i \le 4} c_i = c_1 \cdot c_2 \cdot c_3 \cdot c_4 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 24

Sumas y Productos Conocidos

Entre los muchos resultados acuñados por los matemáticos y cientistas durante mucho tiempo, existen algunos que son importantes en el estudio de las matemáticas discretas. A continuación se da un pequeño resumen de las identidades que todo estudiante de pregrado debería recordar.

  • suma de Gauss o progresión aritmética:

 \sum_{1 \le i \le n} i = \frac{n(n+1)}{2}

  • propiedades relevantes:

Directamente de la noción de suma tenemos las siguientes propiedades

  1. (propiedad aditiva)

 \sum_{1 \le i \le n} a_i + b_i = \sum_{1 \le i \le n} a_i + \sum_{1 \le i \le n} b_i

  1. (propiedad homogénea)

 \sum_{1 \le i \le n} (c \cdot a_i) = c \cdot \sum_{1 \le i \le n} a_i

  1. (propiedad telescópica)

 \sum_{1 \le i \le n} (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0

  • Progresión geométrica y serie geométrica:

 \sum_{0 \le i \le n} r^i = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}

si n es arbitrariamente grande y la razón constante r está entre cero y uno, entonces la progresión se llama Serie Geométrica y cumple con la identidad

 \sum_{n \ge 0} r^n = \frac{1}{1 - r}

  • Exponenciales y la constante Neperiana:

La función exponencial es una función trascendental ya que muchas funciones se pueden definir a partir de esta. Podemos representarla mediante la notación Sigma usando la teoría de series:

 \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{n!} = e^x

y en especial, la constante neperiana se puede calcular como

 \sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!} = e .

  • Producto aritmético:

Para el caso de un producto entre los primeros números naturales consecutivos tenemos la igualdad

 \prod_{1 \le i \le n} i = n! .

  • Propiedades del producto:

Al igual que las sumas, el producto tiene ciertas propiedades interesantes:

  1. (propiedad multiplicativa)

 
\prod_{1 \le i \le n} a_i \cdot b_i 
  =     \left( \prod_{1 \le i \le n} a_i \right) 
  \cdot \left( \prod_{1 \le i \le n} b_i \right)

  1. (propiedad telescópica)


\prod_{1 \le i \le n} \frac{a_i}{a_{i-1}} = \frac{a_n}{a_0} 
donde cada a_i \neq 0.

  1. Para  x \ne 1 :

 \prod_{1 \le i \le n} (1 + x^{2^{i - 1}}) = \frac{1 - x^{2^n}}{1 - x}

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